Willkomen bei Udo Rehle
τρία κοτόπουλα έξι πόδια
Das ist griechisch und heißt: Drei Hennen, sechs Füße,
oder anders gesagt: Das ist doch logisch!
Unsere Geometrie, die wir in der Schule lernen, stammt von den Alten Griechen. Diese gelten als die weisesten
Logiker und schärfsten Denker der Geschichte!
Ich will hier nicht nochmals wiederholen, was schon tausende Mal geschrieben wurde, etwa über Euklid oder
Archimedes, und möchte nur auf die Paradoxa von Zenon hinweisen!
Der Aufbau der Mathematik (Geometrie) ist streng logisch:
Satz, Voraussetzung, Behauptung und Beweis
Allerdings stehen am Anfang unbewiesene Aussagen, sog. Axiome, die man für unfraglich richtig hält, und aus
denen dann alles abgeleitet wird.
Nun hat Kurt Gödel bewiesen, dass es überhaupt kein System geben kann, in dem es nicht auch Aussagen gibt, die
man weder beweisen noch widerlegen kann. Beispielsweise gibt es die Axiome, dass durch zwei Punkte genau eine
Gerade verläuft. Und dass zwei Geraden sich in genau einem Punkt schneiden sollen, wenn sie sich schneiden (und
nicht etwa windschief sind). Nun kann man aber mit dem euklidischen Axiomensystem (ohne das Parallelenaxiom)
daraus nicht das Parallelenpostulat ableiten, dass es nämlich durch jeden Punkt, der nicht auf einer Geraden
liegt, eine Parallele zu dieser Geraden gibt, die überall denselben Abstand hat und die Gerade daher nicht
schneidet. Dieses Parallelenaxiom ist aber ganz entscheidend für die Art der Geometrie, denn ohne dieses hat man
die sog. Nicht-Eulkidischen Geometrien, wie etwa die elliptische Geometrie auf der Kugeloberfläche. Diese
Parallelität ist vollkommen äquivalent zur Winkelsumme im Dreieck., die in der Euklidischen Geometrie (und nur
dort!) ganz genau konstant 180 Grad ergibt, was sich ganz leicht beweisen lässt, indem man zu einer Seite eine
Parallele durch eine Dreiecksecke zieht! Existieren die Parallelen nicht, hat die Geometrie auch keine
Ähnlichkeiten (Quadrate oder rechtwinklige Dreiecke auf der Kugeloberfläche sind sich nicht ähnlich).
Insbesondere gilt dann auch nicht der Satz des Pythagoras!
Hinweis: Diese Website befindet sich noch im Aufbau und wird kontinuierlich mit Artikeln, Skripten, etc.
ergänzt.
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Eine einzige Form, die die Ebene aperiodisch parkettiert. Probiere es interaktiv aus.
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Welcome to Udo Rehle
τρία κοτόπουλα έξι πόδια
That is Greek and means: Three hens, six feet—
in other words: that’s logical!
The geometry we learn at school comes from the ancient Greeks, who are regarded as the wisest logicians and the
sharpest thinkers in history!
I don’t want to repeat what has already been written thousands of times about Euclid or Archimedes; I only wish
to
point to Zeno’s paradoxes!
The structure of mathematics (geometry) is strictly logical:
Theorem, assumptions, statement, and proof
However, at the beginning there are unproven statements—so-called axioms—that are taken to be unquestionably
true,
and from which everything else is derived.
Now, Kurt Gödel proved that there is no system in which there are not also statements that can neither be
proved nor
refuted. For example, there are axioms such as: through two points exactly one straight line passes; and that
two
lines, if they intersect (and are not skew), meet in exactly one point. However, from the Euclidean axiom system
(without the parallel axiom) one cannot derive the parallel postulate, namely that through every point not lying
on a
given line there is a line parallel to that line, keeping the same distance everywhere and therefore not
intersecting
it. This parallel axiom is crucial for the kind of geometry we get, because without it we obtain the so-called
non-Euclidean geometries, such as elliptic geometry on the surface of a sphere. This notion of parallelism is
completely equivalent to the angle sum in a triangle, which in Euclidean geometry (and only there!) is exactly
180 degrees—something that is easy to prove by drawing, through a vertex, a line parallel to one side of the
triangle.
If parallels do not exist, the geometry has no similarities either (squares or right triangles on the sphere are
not
similar). In particular, the Pythagorean theorem does not hold!
Note: This website is under active development and is continuously being updated with articles, scripts, etc.
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