Udo Rehle
Dreiecksgeometrie Einleitung
Dreiecke sind weniger drei verbundene Punkte, oder drei
Seiten und auch keine drei Winkel (französisch: Triangel), sondern das Wesen eines
Dreiecks sind die drei Berührpunkte auf einem Kreis bzw. die drei Kreis-Tangenten!
Dabei liefern aber nicht alle beliebigen drei Kreispunkte mit ihren Tangenten ein Dreieck ( → nächste
Abbildung),
sondern man muss Bedingungen setzen, die den Kreis zum Dreiecks-Inkreis machen.
Diese Auffassung eines Dreiecks liefert nun ziemlich gute Berechnungen am Dreieck, insbesondere auch gerade mit
dem zweidimensionalen komplexen Zahlenkörper C statt dem Körper R der üblichen Zahlen!
Dazu sollte man einige Tatsachen über die Addition und Multiplikation komplexer Zahlen kennen. Die Addition
schein noch ziemlich klar zu sein, denn reell kommt zu reell und der mit i gekennzeichnete Komplexanteil zum
Komplexanteil.
![](../Grafik/Artikel/dreiecksgeometrie2.jpg)
Die Multiplikation ist eine Drehstreckung, deren Länge ist das Produkt der Faktorenlängen, und der Winkel zur
reellen Achse ist die Winkelsumme! Betrachtet man insbesondere nur komplexe Zahlen der Länge Eins, d.h. solche
auf dem Einheitskreis, dann hat das Produkt wieder die Länge Eins und liegt immer auch auf dem Einheitskreis!
Damit ist die Multiplikation zur reinen Winkeladdition geworden, das heißt also, die Multiplikation ist eine
reine Drehung um den Ursprung! Beispielweise ist die Multiplikation mit i eine Drehung um 90 Grad.
Die Eleganz der komplexen Multiplikation als Addition der Winkel zur x-Achse bei den moivreschen Formeln ist
hier sehr zum Vorteil.
Als Beispiel seien die beiden Berührpunkte:
$$z_{1} = 0 + i \quad und \quad z_{2} = 0.6 - 0.8i$$
$$Summe \quad z_{1} + z_{2} = 0.6 + 0.2i$$
$$Produkt \quad z{1} \cdot z_{2} = 0.6i + 0.8$$
Doppelte Summe durch Produkt $= 3+i$
$$(0.8 + 0.6i) / (0.6+0.2i) =$$
$$(0.48+0,12 +0.36i -1.6i)/(0.6² +0.2 )=$$
$$(0,6+0.2i)0,4 =1,5 + 0,5i$$
Die Mitte der Verbindung der beiden Berührpunkte (der Schnitt der Diagonalen des rechtwinkligen Drachens) ist
der Spiegelpunkt von $z_{3}$ am Kreis. Die Entfernung von der „Ecke“ $z_{3}$ ist also 1 durch sie Entfernung dieses
Spiegelpunkts zum Ursprung, denn Das Produkt der Entfernungen von Punkt und Bildpunkt ist im allgemein ja $r^{2}$ und
hier mit $r=1$.
Als nächstes betrachten wir die grundlegende Tangenten-Konstruktion mit der Polaren, die besonders hervorgehoben
werden soll!